Trong không gian Oxyz, cho điểm . Phương trình mặt phẳng (P) đi qua M và cắt ba tia Ox, Oy, Oz |

c3phamquangtham Tháng Tư 24, 2022

0 1 phút đọc

Câu hỏi:

Trong không gian Oxyz, cho điểm
$M (2; 1; 1)$
. Phương trình mặt phẳng (P) đi qua M và cắt ba tia Ox, Oy, Oz lần lượt tại các điểm A, B, C khác gốc O sao cho thể tích khối tứ diện OABC nhỏ nhất là
Bạn đang xem: Trong không gian Oxyz, cho điểm . Phương trình mặt phẳng (P) đi qua M và cắt ba tia Ox, Oy, Oz |

2 x - y + 2 z - 3 = 0.

4 x - y - z - 6 = 0.

2 x + y + 2 z - 6 = 0.

x + 2 y + 2 z - 6 = 0.

Xem lời giải

Trả lời:

Đáp án D

Gọi

A (a; 0; 0), B (0; b; 0), C (0; 0; c)

Do A, B, C thuộc ba tia Ox, Oy, Oz nên

a, b, c > 0

Phương trình mặt phẳng (P) theo đoạn chắn có dạng

\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1

Vì

M (2; 1; 1) \in (P) \Rightarrow \frac{2}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} = 1

Áp dụng bất đẳng thức Cosi cho 3 số dương

\frac{2}{a}; \frac{1}{b}; \frac{1}{c}

ta có:

1 = \frac{2}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \geq 3 \sqrt[3]{\frac{2}{a b c}} \Rightarrow a b c \geq 54

Dấu “=” xảy ra khi

\frac{2}{a} = \frac{1}{b} = \frac{1}{c} = \frac{1}{3} \Rightarrow \{\begin{cases} a = 6 \\ b = c = 3 \end{cases})

Suy ra

V_{O . A B C} = \frac{a b c}{6} \geq 9

Vậy

(P) : \frac{x}{6} + \frac{y}{3} + \frac{z}{3} = 1 \Leftrightarrow x + 2 y + 2 z - 6 = 0

c3phamquangtham Tháng Tư 24, 2022

0 1 phút đọc